怎样利用无约束最小二乘法对协整AR模型的估计？

怎样利用无约束最小二乘法对协整AR模型的估计？

在本节对于非平稳VAR过程的估计,为了简单起见,我们假设v=0,也就是说,我们将VAR过程写成如下形式:

二乘法不能利用。然而，Sims，Stock和Waston以及Park和Phillips证明，如果我们把之前的模型当作无约束的VAR模型来估计，所得到的估计量是一致的，并且具有与下一节将讨论的最大似然估计量相同的渐近性质。

最后的这个结论可能看起来让人很迷惑，因为之前我们说归咎于约束条件，最小二乘估计法不能应用??因此似乎得到了一个矛盾的陈述。为了弄清这个问题，考虑下面事实。我们假设实际数据是由一个有约束的VAR模型产生的。如果我们想利用有限样本来估计那个VAR模型并强加约束条件，则我们无法应用标准的最小二乘法。然而，就其本身而论，把无约束的最小二乘法用于同样的数据却是可以的。Sims，Stock，Watson Park和Phillips证明：如果我们这样做，我们可以得出渐近地服从约束的一致估计量。在有限样本下，一般来讲，约束不可能得到满足。直观上很明显可以看出，如果一个无约束估计过程是一致的，则其估计量渐近服从约束条件。然而，其证明远非明显的，因为人们必须证明最小二乘方法可以一致地应用。

为了写出这个估计量，像在稳定的VAR模型中所做的那样，我们定义下列记号：

利用这些记号，我们可以像前几节中讨论的那样，将协整 VAR 模型的估计量写成通常的最小二乘估计量∶

还需证明的是，这个估计量与我们即将讨论的最大似然估计量具有相同的渐近性质。

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