在统计科学中，什么是样本规模和因素的唯一性？

在统计科学中，什么是样本规模和因素的唯一性？

因素分析，正如到目前为止我们所考虑的那样，其假设前提为收益的数量是给定的，最后让独立样本的数量增长。也就是，N 是固定的而T 可以增长到无限大。在统计学上,我们假设当样本规模增加时,估计的准确程度会提高。让T值增加会使样本更大进而提高估计的准确度。但在实践中,这也许是不成立的,因为模型的参数关于时间不是常数。但是,如果一个严格因素模型被恰当地设定，从统计学的角度来看,增大样本能够提高估计的准确度。

因素模型的另一方面,收益的数量N ,有着不同的考虑。如果我们让N增加并最终趋于无穷大，则我们改变了市场并因此改变了我们研究的对象。我们不能简单地增加样本,而是通过改变样本总体进而改变我们的模型。因此,我们无法期望像处理样本规模的增加那么简单地来处理收益数量的增加。

我们要在因素分析中增加收益的数量的原因有两个。第一个原因是实际需要，如我们可能想要了解大量股票的市场行为。第二个原因是理论需要。每一个收益过程都是对市场的一个调查。通过增加收益的数目,可以改善因素分析,从而获得对收益的驱动因素更加完整的了解。

让N和 T 都变得非常大,在趋于无穷的极限处,存在一个估计的价格。因素模型的ML估计只会让 T 趋于无穷大。因此,去理解很大数目的收益是否会改善因素分析是非常重要的。的确如此,Chamberlain和 Rothschild 已经论证了在一个无限的经济中因素可以由投资组合来模仿。在下一节讨论近似因素模型时,我们将采用这种方法:我们将让N和T都变得非常大(趋于无穷大)。在一个拥有无限多个资产的经济中,因素可由通过PCA所决定的投资组合来模仿。如果一 个经济体非常大,则只能存在一种可能的因素集合,它在正交变换下唯一地决定。

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